Александр Косолапов с 1950 по 1961-й учился в МСХШ. С 1962 по 1968-й с перерывом на службу в армии учился на скульптурном факультете МВХПУ им. Строганова. И в школе, и в институте дружил с Леонидом Соковым. Принадлежит к поколению художников рубежа 1960 –70-х, которые считали для себя важным работать в контексте актуальной интернациональной культуры. Знакомство с современным западным искусством по журналам в библиотеке иностранной литературы и нелегальные посещения запасников Третьяковской галереи, где он впервые увидел русский авангард, дали Косолапову мощный импульс для собственной художественной работы. В конце 1960-х начале 1970-х годов делил свое время между собственным творчеством и заказной работой от Союза Художников СССР. С 1969 по 1971-й работал в одной мастерской с Соковым и Орловым. Первая персональная выставка прошла в 1974 году в выставочном зале на Кузнецком мосту в Москве. В 1975-м уехал в Нью-Йорк, где живет по настоящее время. С 1980 по 1982 год он – представитель журнала «А – Я» в Нью-Йорке, с 1981 по 1986-й – член редколлегии и соредактор.
В начале творческого пути был увлечен дада и поп-артом, в 1972 году делает серию поп-объектов в духе Класа Ольденбурга. В 1973 году был приглашен Комаром и Меламидом для участия в «квартирной» коллективной выставке «Соц-арт». Выставка так и не состоялась, но в процессе подготовки художниками был выработан новый художественный стиль, построенный на приеме пародийной симуляции советского оформительского языка либо совмещения разных стилей и культурных штампов. Сделанные в США произведения Косолапова приобрели медийный характер. В проекте, который получил название «Ленин – Кока-кола» и зародился как серия открыток, а затем стал образцом дизайна билборда для Таймс-сквер, автор сопоставил разные символы – коммерческий логотип и ставший каноническим профиль вождя русской революции, каждый из которых был идеологическим брендом в рамках своей мировоззренческой системы. Прием бинарной оппозиции (капитализм – социализм, СССР – Запад, высокая и низкая культура) художник использовал и в более поздних работах.
Художественная карьера Косолапова связана с рядом цензурных запретов. В США в 1982 году он не смог полностью реализовать проект «Ленин – Кока-кола» (другое название «Символы века») из-за вмешательства этой международной корпорации. В России во времена перестройки мотивы этой и многих других его работ распространились через массовую сувенирную продукцию: майки, плакаты и т. п. В постперестроечную эпоху произведения Косолапова не раз были поводом для скандалов. Так работа «Это моя кровь» (2001) была повреждена религиозным фанатиком на ярмарке «Арт Москва», а в 2006 году «Икона-икра» (1989) была снята с экспозиции «Русский поп-арт» почти сразу после открытия выставки в Третьяковской галерее в Москве.